Magic e la Probabilità: la Distribuzione Ipergeometrica

Si sa, i giochi di carte prevedono una forte dose di fattore C… e diciamocelo, c’è chi ci nasce e chi invece neanche se lo mettessero in saldo su Steam riuscirebbe a procurarsene abbastanza. Per i più sfortunati, ma anche per tutti gli altri, bisogna dire che oltre a questa fantomatica dote, esiste anche una componente matematica e personale legata, incredibile ma vero, alle nostre capacità. Vi ricordate quando, quel torrido giugno di qualche anno fa, vi trovavate in una piccola e malmessa aula del vostro liceo mentre il professore pelato di matematica spiegava qualcosa di inumano alla lavagna e voi, chini sul vostro banco, contavate i secondi che passavano prima delle agognate vacanze, dialogando con voi stessi e autoconvincendovi che la vostra disattenzione era naturale, e che tanto: “Quando mai mi servirà nella vita reale questa roba!“. Bene, sono lieto di informarvi che quel giorno il vostro professore stava spiegando le Permutazioni, e si da il caso che le pescate di Magic the Gathering rientrino perfettamente nell’ambito del calcolo probabilistico. Ben fatto, ragazzi.

Bene, dopo esservi autoinflitti una degna punizione, torniamo all’argomento di oggi, che se non lo avete ancora capito riguarda il legame tra il calcolo matematico e la probabilità di trovare una determinata carta nelle prime 7 pescate del game. Come al solito, però, andiamo con ordine. Cos’è la Probabilità? Lungi da me stare qui a farvi la lezioncina ma, per farla breve, con Probabilità si intende il numero di possibilità che un determinato evento possa avvenire, diviso il numero di possibili risultati (questa, ovviamente, è una semplificazione: in realtà la definizione ufficiale per la Probabilità classica afferma che la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili). Nel nostro caso, consideriamo un ipotetico mazzo di 60 carte e supponiamo che all’interno ci siano tutte carte diverse, quindi tutte monocopia. La probabilità ci dice che avremo 7/60 di pescare una carta che ci interessa. Questo, però, è impossibile per un mazzo normale di Magic, altrimenti ci troveremmo di fronte ad un grimorio che, a voler essere gentili, girerebbe pessimamente. Quindi cosa succede in un ipotetico deck di 60 carte, dove ogni carta è presente in 4x? Succede un casino, direte voi. In realtà non avete tutti i torti. Il punto è che potete effettivamente prevedere la possibilità di pescare o non pescare una carta nei primi turni, ma il calcolo è tutto fuorché semplicissimo. Sto parlando della Distribuzione Ipergeometrica.

Con questo termine si definisce una distribuzione di probabilità discreta che descrive l’estrazione senza reinserimento di un qualsivoglia evento, perdente o vincente, in un insieme. È il caso di Magic, ma si possono considerare anche altri esempi, come la Tombola, per banalizzare. Ora, assumendo che X sia il numero totale di eventi (nel nostro caso carte) tra cui scegliere, e Y sia invece il numero di carte scelte, la formula di questa distribuzione sarà:

H (X1… Xn, Y1… Yn) =

C (X1, Y1) * … * C (Xn, Yn) / C (X1 + … + Xn, Y1 + … + Yn)

Prima che chiudiate l’articolo, state calmi. Questa formula può essere semplificata di molto. Infatti dopo diverse semplificazioni ci ritroveremo di fronte a qualcosa del genere:

H (n) = C (X, n) * C (Y – X, Z – n) / C (Y, Z)

dove

X = numero di specifiche carte nel nostro mazzo (in questo caso considereremo le “carte” come evento, ma è possibile allargare il discorso ad un qualsiasi tipi di evento che segue le regole prima citate);

Y = numero di carte totali del mazzo;

Z = numero di carte che si pescano;

N = numero di carte che si stanno cercando;

Lasciate che vi riporti un semplice esempio. Prima di tutto, chiariamoci: i calcoli per portare a termine questa distribuzione sono complessi, anche perché dovete tenere conto che si tratta di fattoriali, quindi sono lunghi e scomodi da risolvere. Per questo molti siti specializzati consigliano di utilizzare Excel, il famoso foglio di calcolo di Office, che consente di calcolare automaticamente il valore percentuale dell’evento che ci interessa semplicemente andando ad inserire il comando HYPGEOMDIST (N, Z, X, Y). Ora, però, riportiamo un esempio. Se io volessi trovare la probabilità di pescare tra le mie 60 carte (Y), 1 delle mie 4 Forza di Volontà (X) nelle prime 7 pescate (Z), quale sarebbe la probabilità che questo evento avvenga? Ecco i risultati:

Nota bene: La semplice operazione di distribuzione, in realtà, calcola la probabilità di NON pescare quella carta, quindi per conoscere a quanto ammonta la percentuale positiva bisogna sottrarre a 1 il valore trovato con la precedente formula.

Calcolate le probabilità che ha questo castello di carte di mantenersi in piedi

Ora, questa tabella può essere molto utile perché, essendo delle condizioni che si presentano spesso (60 carte totali, 4 carte per tipo, necessità di pescare 1 carta prescelta nei primi 7 turni), i dati rimangono invariati e quindi la probabilità è la stessa. Come potete capire, la distribuzione Ipergeometrica può essere la chiave di volta per iniziare un’analisi più professionale e scientifica sull’efficacia del vostro mazzo, e può essere sfruttata per mille e mille altri utilizzi (calcolare la probabilità di pescare un tot mana nei primi tot turni, controllando di conseguenza la stabilità dello stesso, raffrontare la probabilità di pescare creature, incantesimi, istantanei, ecc.. per verificare l’equilibrio di ogni componente, strutturare un buon mazzo combo…).

Con questa piccola considerazione personale finiamo la nostra analisi. La prossima volta parleremo delle conseguenze che questi calcoli possono portare nella progettazione di uno specifico tipo di mazzo. Nel frattempo vi saluto e vi aspetto al prossimo articolo.

-Vincenzo Mirra-